Qisqa ko'paytirish formulalari

1. Yig'indining kvadrati:
(a+b)²=a²+2ab+b²
2. Ayirmaning kvadrati:
(a-b)²=a²-2ab+b²
3. Kvadratlar ayirmasi:
a²-b²=(a-b)(a+b)
4. Yig'indining kubi:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
5. Ayirmaning kubi:
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
6. Kublar yig'indisi:
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
7. Kublar ayirmasi:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

8. Yig'indi va ayirmaning kvadratlari formulalaridan a²+b²=(a+b)²-2ab yoki a²+b²=(a-b)²+2ab ni hosil qilish mumkin.

9.

10.

11.

12.

13.

14. n - istalgan natural son uchun:

15. n  - musbat juft son uchun:

16. n  - musbat toq son uchun:

17. Nyuton binomi formulasi:

Oxirgi raqamni topish

Oxirgi raqamni topish

1) 232·37+29·36·45= ifodaning oxirgi raqami nima?

Bu ifodani oxirgi raqamini topish uchun ifodadagi sonlarning oxirgi raqamlarini hisoblaymiz:

232·37=...2·...7=...4

29·36·45=...9·...6·...5=...0

shunga ko'ra

232·37+29·36·45=...4+...0=...4

javob: 4

2) 2²² darajani oxirgi raqamini toping. 

Biror sonni darajaga oshirganda ma'lum tartibda oxirgi raqamlar takrorlanib kelishi kuzatiladi.

Yechish:
2¹=2;
2²=4;
2³=8;
2⁴=16;
----------------
2⁵=32;
4-darajadan so'ng oxirgi raqam takrorlanmoqda. Shuning uchun 2²² dagi 22:4=5 (qoldiq 2). Demak, qoldiqqa qarab javobni aniqlaymiz, demak oxirgi raqam 2 qatorda turgan son bilan tugaydi. 2²² darajani oxirgi raqami:4.

javob: 4

3) 7²⁰⁰⁰ darajaning oxirgi raqamini toping.

Yechish:

7¹=7;
7²=49;
7³=343;
7⁴=2401;
----------------
7⁵=16807;

4-darajadan so'ng oxirgi raqam takrorlanmoqda. Shuning uchun 7²⁰⁰⁰ dagi 2000:4=500 (qoldiq 0). Demak, qoldiqqa qarab javobni aniqlaymiz, demak oxirgi raqam 4 qatorda turgan son bilan tugaydi. 7²⁰⁰⁰ darajani oxirgi raqami:1.

javob: 1

4) 1 dan 50 gacha sonlar ko'paytmasi nechta 0 bilan tugaydi, ya'ni 1·2·3·4·5·6·....·49·50 ko'paytma nechta 0 bilan tugaydi?

Yechish:

50:5=10

10:5=2

10+2=12

javob: 12 ta

5) 1·2·3·4·5·...·59·60 ko'paytma nechta nol bilan tugaydi?

Yechish:

60:5=12

12:5=2 (qoldiq 2)

12+2=14

javob: 14 ta