Tub va murakkab sonlar

 1. Faqat o'ziga va birga bo'linadigan natural sonlarga tub sonlar deyiladi. Masalan: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... . (1000 gacha bo'lgan tub sonlar jadvali)

2. Ikkitadan ortiq bo'luvchisi bo'lgan natural sonlarga murakkab sonlar deyiladi. Masalan: 4, 9, 21, 36, ... .

3. 1 soni tub ham, murakkab ham emas.

4. Har qanday murakkab sonni tub sonlar ko'paytmasi ko'rinishida ifodalash mumkin. Buning uchun murakkab sonni tub sonlarga ketma-ket bo'linadi. 

Misol. 1) 36 soni quyidagicha tub sonlarga ajratiladi:

36=2²⋅3² 

^{2) 24 soni quyidagicha tub sonlarga ajraladi:}

24=2³⋅3

5. Berilgan N sonni tub ekanini aniqlash uchun uni √N sonigacha bo'lgan tub sonlarga bo'lib ko'rish yetarli. Masalan, 751 sonini √751≈27 gacha bo'lgan tub sonlar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sonlariga bo'lib ko'riladi. Bu sonlarning hech qaysisiga bo'linmaydi. Demak, 751 tub son ekan.

6. Berilgan A sonning natural bo'luvchilari soni (NBS) quyidagicha topiladi. A soni tub ko'paytuvchilarga ajratiladi: A=a^m⋅bⁿ⋅c^k.
NBS=(m+1)⋅(n+1)⋅(k+1) ga teng. 

Misol. 1) 36 sonining NBS ni topamiz. 36=2²⋅3². NBS(36)=(2+1)⋅(2+1)=3⋅3=9.
2) 24 sonining NBS ni topamiz. 24=2³⋅3. NBS(24)=(3+1)⋅(1+1)=4⋅2=8.

7. Natural bo'luvchilari yig'indisi (NBY).

Misol. 1) 36 ning natural bo'luvchilar yig'indisi. 36=2²⋅3²:

Trigonometrik tengsizliklarni yechish formulalari

Trigonometrik tengsizliklarni yechish formulalari
1. sin x ≥ a, (|a|≤1)
arcsin a + 2πk ≤ x ≤ π-arcsin a + 2πk.
2. sin x ≤ a,  (|a|≤1)
-π-arcsin a + 2πk ≤ x ≤ arcsin a + 2πk.
3. cos x ≥ a,(|a|≤1)
-arccos a + 2πk ≤ x ≤ arccos a + 2πk.
4. cos x ≤ a,(|a|≤1)
arccos a + 2πk ≤ x ≤ 2π-arccos a + 2πk.
5. tg x ≥ a
arctg a+πk ≤ x ≤ π/2+πk.
6. tg x ≤ a
-π/2+πk ≤ x ≤ arctg a+πk.
7. ctg x ≥ a

πk ≤ x ≤ arcctg a+πk.
8. ctg x ≤ a
arcctg a+πk ≤ x ≤ πk.

Misol: sin x > 0.5 tengsizlikni yeching.
Yechish:
arcsin 0.5 + 2πk < x < π-arcsin 0.5 + 2πk,
π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.
Javob: π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.

Trigonometriya

O'rta qiymatlar

1. O'rta arifmetik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta arifmetigi: A=(3+7+1+8)/4=4,75.

2. O'rta geometrik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta geometrik qiymati: 

3. O'rta garmonik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta garmonik qiymati: 

4. O'rta kvadratik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta kvadratik qiymati:

5. O'rta vazn qiymat:

Masalan: Moddiy nuqta 3 soat 70 km/s tezlik bilan, 2 soat 62 km/s tezlik bilan, 4 soat 65 km/soat tezlik bilan yurdi. Uning o'rtacha tezligi qanday bo'lganini toping.

Yechish:

Javob: 66 km/soat.

6. O'rta proporsional qiymat:

Masalan: 3 va 4 sonlarining o'rta proporsional qiymati: