Trigonometrik tengsizliklarni yechish formulalari

Trigonometrik tengsizliklarni yechish formulalari
1. sin x ≥ a, (|a|≤1)
arcsin a + 2πk ≤ x ≤ π-arcsin a + 2πk.
2. sin x ≤ a,  (|a|≤1)
-π-arcsin a + 2πk ≤ x ≤ arcsin a + 2πk.
3. cos x ≥ a,(|a|≤1)
-arccos a + 2πk ≤ x ≤ arccos a + 2πk.
4. cos x ≤ a,(|a|≤1)
arccos a + 2πk ≤ x ≤ 2π-arccos a + 2πk.
5. tg x ≥ a
arctg a+πk ≤ x ≤ π/2+πk.
6. tg x ≤ a
-π/2+πk ≤ x ≤ arctg a+πk.
7. ctg x ≥ a

πk ≤ x ≤ arcctg a+πk.
8. ctg x ≤ a
arcctg a+πk ≤ x ≤ πk.

Misol: sin x > 0.5 tengsizlikni yeching.
Yechish:
arcsin 0.5 + 2πk < x < π-arcsin 0.5 + 2πk,
π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.
Javob: π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.

Trigonometriya

O'rta qiymatlar

1. O'rta arifmetik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta arifmetigi: A=(3+7+1+8)/4=4,75.

2. O'rta geometrik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta geometrik qiymati: 

3. O'rta garmonik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta garmonik qiymati: 

4. O'rta kvadratik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta kvadratik qiymati:

5. O'rta vazn qiymat:

Masalan: Moddiy nuqta 3 soat 70 km/s tezlik bilan, 2 soat 62 km/s tezlik bilan, 4 soat 65 km/soat tezlik bilan yurdi. Uning o'rtacha tezligi qanday bo'lganini toping.

Yechish:

Javob: 66 km/soat.

6. O'rta proporsional qiymat:

Masalan: 3 va 4 sonlarining o'rta proporsional qiymati: 

Butun sonlar ustida amallar

Butun sonlar toʻplami Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

1. Butun sonlarni qoʻshish qoidasi:
a) Bir xil ishorali sonlarni qoʻshish uchun ularning modullarini qoʻshib, soʻngra, yigʻindi oldiga qoʻshiluvchilarning ishorasi qoʻyiladi.
Masalan
1)  -4+(-7)=-11
2)  +8+(+9)=+17
Odatda + ishora qoʻyilimaydi va ikkinchi misol 8+9=17 kabi yoziladi.
3)  -45+(-38)=-83
b) Har xil ishorali sonlarni qoʻshish uchun ularning moduli kattasidan moduli kichigini ayirib, ayirma oldiga moduli kattasini ishorasini qoʻyiladi.
Masalan
1)  -4+(+7)=+3=3
Bu misol bunday yozilishi mumkin: -4+7=3
2)  -7+5=-2
3)  57+(-45)=12
4)  32+(-70)=-38

d) qarama-qarshi sonlar yig'indisi 0 ga teng: n+(-n)=0

5) 2+(-2)=0

6) -3+3=0

Har qanday son unga musbat son qo'shilsa ortadi, manfiy son qo'shilsa kamayadi.
e) songa 0 ni qo'shish sonni o'zgartirmaydi: k+0=k

7) -2+0=-2

2. Butun sonlarni ayirish qoidasi:
a) Butun sonlarni ayirish uchun kamayuvchiga "ayriluvchiga qarama-qarshi" sonni qoʻshish kerak.
Masalan
1)  -9-(-6)=-9+6=-3
2)  -12-5=-12+(-5)=-17
3)  21-34=21+(-34)=-13
4)  31-(-10)=31+10=41

b) 0 dan sonni ayirish: 0-n=-n

5) 0-3=-3

6) 0-(-2)=2

d) sondan 0 ni ayirish: k-0=k

7) -3-0=-3

3. Butun sonlarni ko'paytirish:

a) bir xil ishorali sonlarni ko'paytirishda ularning modullari ko'paytiriladi va ko'paytma oldiga "+" ishora qo'yiladi:

1) -16·(-3)=|-16|·|-3|=16·3=48

2) 5·14=70

b) har xil ishorali sonlarni ko'paytirishda ularning modullari ko'paytiriladi va ko'paytma oldiga "-" ishora qo'yiladi:

3) 12·(-3)=-|12|·|-3|=-12·3=-36

4) -15·4=-|-15|·|4|=-15·4=-60

d) sonni 0 ga ko'paytirish: n·0=0;  0·n=0

5) (+5)·0=0

6) (-3)·0=0

7) 0·(+5)=0

8) 0·(-3)=0

e) sonni -1 ga ko'paytirganda uning ishorasi o'zgaradi, xolos: n·(-1)=-n;  -1·n=-n

9) -5·(-1)=5

10) 8·(-1)=-8

4. Butun sonlarni bo'lish:

a) bir xil ishorali sonlarni bo'lishda ularning modullari bo'linadi va bo'linma oldiga "+" ishora qo'yiladi:

1) -21:(-7)=|-21|:|-7|=21:7=3

2) +24:(+3)=|+24|:|+3|=24:3=8

b) har xil ishorali sonlarni bo'lishda ularning modullari bo'linadi va bo'linma oldiga "-" ishora qo'yiladi:

3) -24:8=-|-24|:|8|=-24:8=-3

4) 30:(-5)=-|30|:|-5|=-30:5=-6

d) 0 ni noldan farqli n songa bo'lish 0 ga teng: 0:n=0

5) 0:(-9)=0

6) 0:(+7)=0

e) 0 ga bo'lish mumkin emas! 

f) bo'luvchi -1 ga teng bo'lsa, bo'linma qarama-qarshi son bo'ladi: n:(-1)=-n

7) -9:(-1)=9

8) 8:(-1)=-8

Qisqa ko'paytirish formulalari

1. Yig'indining kvadrati:
(a+b)²=a²+2ab+b²
2. Ayirmaning kvadrati:
(a-b)²=a²-2ab+b²
3. Kvadratlar ayirmasi:
a²-b²=(a-b)(a+b)
4. Yig'indining kubi:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
5. Ayirmaning kubi:
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
6. Kublar yig'indisi:
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
7. Kublar ayirmasi:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

8. Yig'indi va ayirmaning kvadratlari formulalaridan a²+b²=(a+b)²-2ab yoki a²+b²=(a-b)²+2ab ni hosil qilish mumkin.

9.

10.

11.

12.

13.

14. n - istalgan natural son uchun:

15. n  - musbat juft son uchun:

16. n  - musbat toq son uchun:

17. Nyuton binomi formulasi:

Oxirgi raqamni topish

Oxirgi raqamni topish

1) 232·37+29·36·45= ifodaning oxirgi raqami nima?

Bu ifodani oxirgi raqamini topish uchun ifodadagi sonlarning oxirgi raqamlarini hisoblaymiz:

232·37=...2·...7=...4

29·36·45=...9·...6·...5=...0

shunga ko'ra

232·37+29·36·45=...4+...0=...4

javob: 4

2) 2²² darajani oxirgi raqamini toping. 

Biror sonni darajaga oshirganda ma'lum tartibda oxirgi raqamlar takrorlanib kelishi kuzatiladi.

Yechish:
2¹=2;
2²=4;
2³=8;
2⁴=16;
----------------
2⁵=32;
4-darajadan so'ng oxirgi raqam takrorlanmoqda. Shuning uchun 2²² dagi 22:4=5 (qoldiq 2). Demak, qoldiqqa qarab javobni aniqlaymiz, demak oxirgi raqam 2 qatorda turgan son bilan tugaydi. 2²² darajani oxirgi raqami:4.

javob: 4

3) 7²⁰⁰⁰ darajaning oxirgi raqamini toping.

Yechish:

7¹=7;
7²=49;
7³=343;
7⁴=2401;
----------------
7⁵=16807;

4-darajadan so'ng oxirgi raqam takrorlanmoqda. Shuning uchun 7²⁰⁰⁰ dagi 2000:4=500 (qoldiq 0). Demak, qoldiqqa qarab javobni aniqlaymiz, demak oxirgi raqam 4 qatorda turgan son bilan tugaydi. 7²⁰⁰⁰ darajani oxirgi raqami:1.

javob: 1

4) 1 dan 50 gacha sonlar ko'paytmasi nechta 0 bilan tugaydi, ya'ni 1·2·3·4·5·6·....·49·50 ko'paytma nechta 0 bilan tugaydi?

Yechish:

50:5=10

10:5=2

10+2=12

javob: 12 ta

5) 1·2·3·4·5·...·59·60 ko'paytma nechta nol bilan tugaydi?

Yechish:

60:5=12

12:5=2 (qoldiq 2)

12+2=14

javob: 14 ta

Foiz protsent formulalari

1. a sonning p foizi:

Misol. 300 sonining 15% ini toping.

Yechish:

b=300·15:100=45

Javob:45

2. p foizi b ga teng bo'lgan sonni topish:

Misol. 30% i 60 ga teng bo'lgan sonni toping.

Yechish:

a=60·100:30=200

Javob: 200

3. b son a sonning necha foizini tashkil qilishini topish:

Misol. 45 soni 50 ning necha foiziga teng.

Yechish:

p=45·100%:50=90%

Javob:90%.