Bo'linish alomatlari

 Bo'linish alomati deb bir sonning ikkinchisiga qoldiqsiz bo'linishini ko'rsatadigan shartga aytiladi.

a sonning b songa qoldiqsiz bo'linishini a፧b kabi belgilaymiz.

M-n, 15፧3 yozuv, 15 soni 3 ga qoldiqsiz bo'linadi degani. 

1. 2 ga bo'linish belgisi. Oxirgi raqami 0;2;4;6;8 bilan tugaydigan sonlar 2 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, 12; 46; 310 sonlari 2 ga qoldiqsiz bo'linadi.

2. 3 ga bo'linish belgisi. Raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linadigan son 3 ga qoldiqsiz bo'linadi, raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linmaydigan son 3 ga qoldiqsiz bo'linmaydi.

M-n, 372 soni 3 ga bo'linadi. Chunki 3+7+2=12, 12፧3. Demak, 372፧3.

3. 4 ga bo'linish belgisi. Oxirgi ikki raqami 4 ga bo'linsa yoki 0 bo'lsa, bu son 4 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, a) 1692 soni berilgan. Oxirgi 2 ta raqami 92፧4. Demak, 1692፧4.

b) 3112300 soni berilgan. Oxirgi 2 ta raqami 0. Demak, 3112300፧4.

4. 5 ga bo'linish belgisi. Oxirgi raqami 0 yoki 5 bilan tugaydigan son 5 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, a) 13215,    b) 6570.

5. 6 ga bo'linish belgisi. Bir vaqtda 2ga ham, 3ga ham bo'linadigan son 6 ga qoldiqsiz bo'lnadi.

M-n, 138፧2 va 138፧3. Demak, 138፧6.

6. 7 ga bo'linish belgisi. Berilgan sondagi o'nlar xonasidagi sondan birlar xonasidagi raqamning ikkilangani ayrilib, ayirmasi 7 ga bo'linsa, bu son 7 ga bo'linadi.

M-n, a) 91 soni berilgan. 9-2⋅1=7;  7፧7. Demak, 91፧7.

b) 1134 soni berigan. 113-2⋅4=105,    10-2⋅5=0,     0፧7.     Demak, 1134፧7.

7. 8 ga bo'linish belgisi. Oxirgi uchta raqami 8 ga bo'linsa yoki 0 bo'lsa, bu son 8 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, 5048 soni berilgan. Oxirgi uchta raqami 048፧8. Demak, 5048፧8.

2000 sonining oxirgi uchta raqami 0 demak, 2000፧8.

8. 9 ga bo'linish belgisi. Raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linadigan son 9 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, 5058 soni berilgan. 5+0+5+8=18,    18፧9. Demak, 5058፧9.

9. 10 ga bo'linish belgisi. Oxirgi raqami 0 bilan tugaydigan sonlar 10 ga qoldiqsiz bo'linadi.

10. 11 ga bo'linish belgisi. Berilgan sondagi o'nlar xonasidagi sondan birlar xonasidagi raqam ayrilib, ayirmasi 11 ga bo'linsa, bu son 11 ga bo'linadi.

M-n, a) 121 soni berilgan. 12-1=11,  11፧11.  Demak, 121፧11.

b) 1331 soni berilgan. 133-1=132,   13-2=11,  11፧11. Demak, 1331፧11.

Qolgan sonlarga bo'linish belgilari ularni tub ko'paytuvchilarga ajratish yo'li bilan topiladi. M-n, 45=3²⋅5=9⋅5. Demak, 9 va 5 ga bo'lingan son 45 ga bo'linadi.

11. 12 ga bo'linish belgisi. 12=2²⋅3=4⋅3. Bir vaqtda 3 va 4 ga bo'lnadigan son 12ga bo'linadi.

12. 14 ga bo'linish belgisi. 14=2⋅7. Demak, bir vaqtda 2 va 7 ga bo'linadigan son 14 ga bo'lnadi.

13. 15 ga bo'linish belgisi.  15=3⋅5. Demak, 3 va 5 ga bo'linadigan son 15 ga bo'lnadi.

14. 18 ga bo'linish belgisi. 18=2⋅9. Bundan, 2 va 9 ga bo'linadigan son 18 ga bo'linadi.

15. 20 ga bo'linish belgisi. 20=4⋅5. Demak, 4 va 5 ga bo'linadigan son 20 ga bo'linadi.

16. 21 ga bo'linish belgisi.  Berilgan sondagi o'nlar xonasidagi sondan birlar xonasidagi raqamning ikkilangani ayrilib, ayirmasi 21 ga bo'linsa, bu son 21 ga bo'linadi.
M-n, 3276 soni 21 ga bo'linadimi?

327-6⋅2=315,    31-5⋅2=21,    21፧21. Demak, 3276፧21.   Javob: bo'linadi.

Nisbat. Proporsiya. Proporsiyaning asosiy xossasi

a va b sonlarning nisbati deb ularning bo'linmasi natijasiga aytiladi. Nisbatni 

a:b yoki 

ko'rinishda yozish mumkin. Nisbatni tashkil qiluvchilari uning hadlari deyiladi. a oldingi had, b keyingi had. Nisbat kasrning barcha xossalariga ega.

Nisbatning qiymati 1 dan katta bo'lsa, birinchi son ikkinchisidan ikkinchisidan necha marta katta ekanligini anglatadi. 1 dan kichik bo'lsa, birinchi son ikkinchisining qanday qismini tashkil qilishini bildiradi.

Masalan, a) 36:9 nisbatning qiymati 4 ga teng: 36:9=4.   36 soni 9 dan 4 marta katta.

b) 4:100 nisbatning qiymati 1/25 ga teng. 4 soni 100 ning 25 dan 1 qismini tashkil qiladi.

Ikki nisbatning tengligi proporsiya deyiladi. 

Proporsiya 4 ta hadlardan iborat. a va d chetki hadlar, b va c o'rta hadlar deyiladi.

Proporsiyaning asosiy xossasi. Proporsiyaning chetki hadlari ko'paytmasi uning o'rta hadlari ko'paytmasiga teng:     

a⋅d=b⋅c

Masalan, Proporsiyaning to'g'riligini tekshiring:

Misol. Proporsiyaning noma'lum hadini toping.

Proporsiyaga oid qo'shimcha formulalar.

Asosiy geometrik tushunchalar.

 Tekislik, nuqta, to'g'ri chiziq geometriyaning asosiy tushunchlaridir. Ularga ta'rif berilmaydi. 

Tekislikdagi asosiy geometrik figuralar nuqta va to'g'ri chiziq hisoblanadi. Nuqtalarni lotin alifbosidagi bosh harflar A, B, C, D, ... bilan belgilanadi. To'g'ri chiziqlar kichkina harflar bilan belgilanadi: a, b, c, ... (1-rasm).

1-rasm.

To'g'ri chiziqni shuningdek AB tarzida ham belgilash mumkin.

Geometrik shakllar xossalarini to'g'riligini belgilovchi mulohazalar isbotlash deyiladi.

Geometrik shakl xossasining to'g'riligini isbotlab ko'rsatiladigan gap teorema deyiladi.

Shakllarning xossasini isbotsiz qabul qilinadigan gapga aksioma deyiladi.

Matematik induksiya metodi

 Induksiya - xususiy holdan umumiyga o'tish deganidir.

Matematik induksiya metodi matmatikaning turli sohalarida formulalarni, tengsizliklarni, teoremalarni isbotlashda qo'llaniladi.

Teorema (matematik induksiya prinsipi). A(n) tasdiq barcha n qiymatlar uchun o'rinli bo'ladi, agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. Tasdiq A(1) uchun o'rinli ("induksiya bazisi").

2. Istalgan k natural son uchun A(1), A(2), ... , A(k) uchun o'rinli deb hisoblab ("induksiya farazi"), A(k+1) uchun ham o'rinli ("induktiv o'tish").

Izoh. Ba'zan induksiya bazasini A(n₀) ga almashtiriladi. Bunda n₀ - belgilangan son.

Masalan: 1・1!+2・2!+3・3!+...+n・n!=(n+1)!-1. tenglikni isbotlash talab qilinadi. Bunda n!=1・2・3・...・n.

Isboti. 

1 qadam (induksiya bazisi). n=1 uchun 1・1!=(1+1)!-1. Demak A(1) uchun o'rinli. n=k uchun ham A(k) o'rinli deb hisoblaymiz, ya'ni 1・1!+2・2!+3・3!+...+k・k!=(k+1)!-1 (induksiya farazi).

2 qadam (induktiv o'tish). n=k+1 bo'lsin. U holda (1・1!+2・2!+3・3!+...+k・k!+(k+1)(k+1)!=(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+1)!(k+1+1)-1=(k+2)!-1. Biz A(k)⇒A(k+1) ni isbotladik. Demak, tenglik  barcha n∊N uchun o'rinli.

Tub va murakkab sonlar

 1. Faqat o'ziga va birga bo'linadigan natural sonlarga tub sonlar deyiladi. Masalan: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... . (1000 gacha bo'lgan tub sonlar jadvali)

2. Ikkitadan ortiq bo'luvchisi bo'lgan natural sonlarga murakkab sonlar deyiladi. Masalan: 4, 9, 21, 36, ... .

3. 1 soni tub ham, murakkab ham emas.

4. Har qanday murakkab sonni tub sonlar ko'paytmasi ko'rinishida ifodalash mumkin. Buning uchun murakkab sonni tub sonlarga ketma-ket bo'linadi. 

Misol. 1) 36 soni quyidagicha tub sonlarga ajratiladi:

36=2²⋅3² 

^{2) 24 soni quyidagicha tub sonlarga ajraladi:}

24=2³⋅3

5. Berilgan N sonni tub ekanini aniqlash uchun uni √N sonigacha bo'lgan tub sonlarga bo'lib ko'rish yetarli. Masalan, 751 sonini √751≈27 gacha bo'lgan tub sonlar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sonlariga bo'lib ko'riladi. Bu sonlarning hech qaysisiga bo'linmaydi. Demak, 751 tub son ekan.

6. Berilgan A sonning natural bo'luvchilari soni (NBS) quyidagicha topiladi. A soni tub ko'paytuvchilarga ajratiladi: A=a^m⋅bⁿ⋅c^k.
NBS=(m+1)⋅(n+1)⋅(k+1) ga teng. 

Misol. 1) 36 sonining NBS ni topamiz. 36=2²⋅3². NBS(36)=(2+1)⋅(2+1)=3⋅3=9.
2) 24 sonining NBS ni topamiz. 24=2³⋅3. NBS(24)=(3+1)⋅(1+1)=4⋅2=8.

7. Natural bo'luvchilari yig'indisi (NBY).

Misol. 1) 36 ning natural bo'luvchilar yig'indisi. 36=2²⋅3²:

Trigonometrik tengsizliklarni yechish formulalari

Trigonometrik tengsizliklarni yechish formulalari
1. sin x ≥ a, (|a|≤1)
arcsin a + 2πk ≤ x ≤ π-arcsin a + 2πk.
2. sin x ≤ a,  (|a|≤1)
-π-arcsin a + 2πk ≤ x ≤ arcsin a + 2πk.
3. cos x ≥ a,(|a|≤1)
-arccos a + 2πk ≤ x ≤ arccos a + 2πk.
4. cos x ≤ a,(|a|≤1)
arccos a + 2πk ≤ x ≤ 2π-arccos a + 2πk.
5. tg x ≥ a
arctg a+πk ≤ x ≤ π/2+πk.
6. tg x ≤ a
-π/2+πk ≤ x ≤ arctg a+πk.
7. ctg x ≥ a

πk ≤ x ≤ arcctg a+πk.
8. ctg x ≤ a
arcctg a+πk ≤ x ≤ πk.

Misol: sin x > 0.5 tengsizlikni yeching.
Yechish:
arcsin 0.5 + 2πk < x < π-arcsin 0.5 + 2πk,
π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.
Javob: π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.

Trigonometriya