Qisqa ko'paytirish formulalari

1. Yig'indining kvadrati:
(a+b)²=a²+2ab+b²
2. Ayirmaning kvadrati:
(a-b)²=a²-2ab+b²
3. Kvadratlar ayirmasi:
a²-b²=(a-b)(a+b)
4. Yig'indining kubi:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
5. Ayirmaning kubi:
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
6. Kublar yig'indisi:
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
7. Kublar ayirmasi:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

8. Yig'indi va ayirmaning kvadratlari formulalaridan a²+b²=(a+b)²-2ab yoki a²+b²=(a-b)²+2ab ni hosil qilish mumkin.

9.

10.

11.

12.

13.

14. n - istalgan natural son uchun:

15. n  - musbat juft son uchun:

16. n  - musbat toq son uchun:

17. Nyuton binomi formulasi:

Oxirgi raqamni topish

Oxirgi raqamni topish

1) 232·37+29·36·45= ifodaning oxirgi raqami nima?

Bu ifodani oxirgi raqamini topish uchun ifodadagi sonlarning oxirgi raqamlarini hisoblaymiz:

232·37=...2·...7=...4

29·36·45=...9·...6·...5=...0

shunga ko'ra

232·37+29·36·45=...4+...0=...4

javob: 4

2) 2²² darajani oxirgi raqamini toping. 

Biror sonni darajaga oshirganda ma'lum tartibda oxirgi raqamlar takrorlanib kelishi kuzatiladi.

Yechish:
2¹=2;
2²=4;
2³=8;
2⁴=16;
----------------
2⁵=32;
4-darajadan so'ng oxirgi raqam takrorlanmoqda. Shuning uchun 2²² dagi 22:4=5 (qoldiq 2). Demak, qoldiqqa qarab javobni aniqlaymiz, demak oxirgi raqam 2 qatorda turgan son bilan tugaydi. 2²² darajani oxirgi raqami:4.

javob: 4

3) 7²⁰⁰⁰ darajaning oxirgi raqamini toping.

Yechish:

7¹=7;
7²=49;
7³=343;
7⁴=2401;
----------------
7⁵=16807;

4-darajadan so'ng oxirgi raqam takrorlanmoqda. Shuning uchun 7²⁰⁰⁰ dagi 2000:4=500 (qoldiq 0). Demak, qoldiqqa qarab javobni aniqlaymiz, demak oxirgi raqam 4 qatorda turgan son bilan tugaydi. 7²⁰⁰⁰ darajani oxirgi raqami:1.

javob: 1

4) 1 dan 50 gacha sonlar ko'paytmasi nechta 0 bilan tugaydi, ya'ni 1·2·3·4·5·6·....·49·50 ko'paytma nechta 0 bilan tugaydi?

Yechish:

50:5=10

10:5=2

10+2=12

javob: 12 ta

5) 1·2·3·4·5·...·59·60 ko'paytma nechta nol bilan tugaydi?

Yechish:

60:5=12

12:5=2 (qoldiq 2)

12+2=14

javob: 14 ta

Foiz protsent formulalari

1. a sonning p foizi:

Misol. 300 sonining 15% ini toping.

Yechish:

b=300·15:100=45

Javob:45

2. p foizi b ga teng bo'lgan sonni topish:

Misol. 30% i 60 ga teng bo'lgan sonni toping.

Yechish:

a=60·100:30=200

Javob: 200

3. b son a sonning necha foizini tashkil qilishini topish:

Misol. 45 soni 50 ning necha foiziga teng.

Yechish:

p=45·100%:50=90%

Javob:90%.

Tog'ri burchakli parallelepiped va kub sirt yuzi va hajm formulalari

To'g'ri burchakli parallelepiped

 a) o'lchamlari bo'yi-a, eni-b, balandligi-c bo'lsa, u holda uning sirt yuzi:

S=2(ab+bc+ac)

formula bilan hisoblanadi.

Misol: Qirralari 5 cm, 6 cm, 7 cm bo'lgan to'g'ri burchakli parallelepipedning to'la sirt yuzini toping.

Yechish:

S=2·(5·6+6·7+5·7)=2·(30+42+35)=2·107=214 (cm²)

javob: 214 cm².

b) Qirralari uzunligi yig'indisi esa:

L=4(a+b+c)

formula bilan hisoblanadi.

Misol: O'lchamlari 5 cm, 6 cm, 7 cm bo'lgan to'g'ri burchakli parallelepipedning qirralari uzunligi yig'indisini toping.

Yechish:

L=4·(5+6+7)=4·18=72 (cm)

javob: 72 cm.

d) Hajmi:

V=a・b・c

formula yordamida aniqlanadi.

Misol: O'lchamlari 5 cm, 6 cm, 7 cm bo'lgan to'g'ri burchakli parallelepipedning hajmini toping.

Yechish:

V=5·6·7=210 (cm³)

javob: 210 cm³.

Agar to'g'ri burchakli parallelepipedning asos yuzini S=a・b, balandligini c=H deb belgilasak, uning hajmi 

V=S・H

formula bilan hisoblanadi.

Misol: Asos yuzi 21  cm²   balandligini 3 cm bo'lgan parallelepipedning hajmini toping.

Yechish:

V=21·3=63 (cm³)

javob: 63 cm³.

Kub 

e)  qirrasi a desak, uning sirt yuzi:

S=6a²

Misol: Qirrasi 3 dm bo'lgan kubning to'la sirtini toping.

Yechish:

S=6·3² =6·9=54  (cm²)

javob: 54 cm².

f) qirralari uzunligi yig'indisi:

L=12a

Misol: Qirrasi 2 dm bo'lgan kubning qirralari uzunligi yig'indisini toping.

Yechish:

L=12·2=24 (dm)

javob: 24 dm.

g) hajmi:

V=a³

formulalar yordamida hisoblanadi.
Misol:  Qirrasi 4 dm bo'lgan kubning hajmini toping.

Yechish:

V=4³=64 (cm³)

javob: 64 cm³.

Aylana uzunligi va doira yuzi

Aylana deb tekislikda bir nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalar to'plamiga aytiladi.

Har qanday aylanani uzunligini uning diametriga nisbati o'zgarmas son bo'lib π harfi bilan belgilanadi. Ya'ni C:d=π.

Bu yerda C-aylana uzunligi, d-aylana diametri, π-irratsional son bo'lib, taqriban π≈3,14 ga teng.
Shunday qilib aylana uzunligi:

C=πd

formula bilan hisoblanadi. Agar d=2r desak,( bu yerda r-aylana radiusi.)

C=2πr 

formulaga ega bo'lamiz.

Misol: 1) Radiusi 3 cm ga teng bo'lgan aylana uzunligini toping.

Yechish:

C=2·𝜋·3=6𝜋≈6·3,14=18,84 (cm)

javob: 6𝜋 yoki 18,84 cm ga teng.

2) Diametri 2 cm ga teng bo'lgan aylana uzunligini toping.

Yechish:

C=𝜋·2=2𝜋≈2·3,14=6,28 (cm)

javob: 2𝜋 yoki 6,28 cm ga teng.

Doira deb tekislikning aylana bilan chegaralangan qismiga aytiladi.
Doira yuzi:

S=πr²

formula bilan hisoblanadi.

Misol: Radiusi 4 cm ga teng doira yuzini toping.

Yechish:

S=𝜋·42=16𝜋≈16·3,14=50,24 (cm²)

javob: 16𝜋 cm² yoki 50,24 cm².

Ayirish qonunlari

1. Sondan yigʻindini ayirish qonuni:

a-(b+c)=a-b-c

Misol: 35-(15+7)=35-15-7=20-7=13.

2. Yigʻindidan sonni ayirish qonuni:

(a+b)-c=(a-c)+b

(a+b)-c=a+(b-c)

Misol: (24+9)-14=(24-14)+9=10+9=19.

(2+23)-13=2+(23-13)=2+10=12.

3. Sondan nolni ayirish:

a-0=a

Misol: 6-0=0.