Daraja va uning xossalari

 1. a sonini n darajaga ko'tarish deyilganda 

tushuniladi. a∈Q, n∈N.

M-n, 1) 4·4·4 = 4³= 64;   2) 5·5·5·5= 5⁴= 625.

2. Darajaning xossalari:

1. aⁿ·a^m = a^n+m
2. aⁿ:a^m = a^n-m
3. (aⁿ)^m = (a^m)ⁿ = a^nm
4. (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
5. (a:b)ⁿ = aⁿ:bⁿ
6. 1ⁿ = 1
7. a⁰ = 1
8. a¹ = a
9. (-1)²ⁿ = 1
10. (-1)²ⁿ⁺¹ = -1
11. (-a)²ⁿ = a²ⁿ
12. (-a)²ⁿ⁺¹ = -a²ⁿ⁺¹
13. (aⁿ)^m ≠ a^nm
14. 0⁰ - ma'noga ega emas.
15. a^-n = 1/aⁿ
16. agar 0<a<b va x>0 bo'lsa, a^x < b^x
17. agar 0<a<b va x<0 bo'lsa, a^x > b^x
18. agar x<y va a>1 bo'lsa, a^x < a^y
19. agar x<y va 0<a<1 bo'lsa, a^x > a^y

Misollar.

1. 4² · 4³ = 4²⁺³ = 4⁵ = 1024

2. 5⁴ : 5² = 5^4-2 = 5² = 25

3. (3²)³ = 3^2·3 = 3⁶ = 729

4. (6 · 3)² = 6² · 3² = 36 · 9 = 324

5. (8 : 2)² = 8² : 2² = 64 : 4 = 16

6. 1²⁵ = 1

7. 123⁰ = 1

8. 5898¹ = 5898.

Sonlarni to'g'ri va teskari proporsinal bo'laklarga bo'lish

 1. a sonni n:m:k nisbatda to'g'ri proporsional bo'laklarga quyidagicha ajratiladi:

1. n+m+k hisoblanadi;
2. a sonni yuqoridagi yig'indiga bo'linadi;
3. hosil bo'lgan bo'linmani n, m, k sonlarg alohida ko'paytiriladi.

M-n, 450 sonini 2, 3, 4, 6 sonlariga to'g'ri proporsional qilib tortta bo'lakka bo'ling (ya'ni 450 sonini 2:3:4:6 nisbatda bo'ling).

Yechish:

1. 2+3+4+6=15
2. 450:15=30
3. 2·30=60;  3·30=90;  4·30=120;  6·30=180.

Javob: 60, 90, 120, 180.

2. a sonni n:m:k nisbatda teskari proporsional bo'laklarga quyidagicha ajratiladi:

1. 1/n+1/m+1/k hisoblanadi;
2. a sonni yuqoridagi yig'indiga bo'linadi;
3. hosil bo'lgan bo'linmani 1/n, 1/m, 1/k sonlarg alohida ko'paytiriladi.

M-n,  120 sonini 2, 3, 4, 6 sonlariga teskari proporsional qilib tortta bo'lakka bo'ling.

Yechish:

1. 1/2+1/3+1/4+1/6=(6+4+3+2)/12=15/12=5/4
2. 120:5/4=120·4/5=96
3. 96·1/2=48;  96·1/3=32;  96·1/4=24;  96·1/6=16

Javob: 48, 32, 24, 16.

Davriy kasrlar

 1. Butun qismidan so'ng kasr qismida darhol yoki bir nechta raqamdan so'ng cheksiz takrorlanadigan o'nli kasrga davriy kasr deyiladi. 

M-n,  0,555...;  2,6333...;   4,26725252... .

Ularni 0,(5);   2,6(3);   4,267(25) deb belgilanadi. (5), (3), (25) - kasrning davri deyiladi.

2. Butun qismidan so'ng darhol davr boshlanadigan davriy kasrlar sof davriy kasrlar deyiladi.

M-n, 1,(34);  9,(3).

3. Kasr qismida bir yoki bir nechta raqamdan so'ng davr boshlanadigan kasrlar aralash davriy kasrlar deyiladi. 

M-n,  5,0(27);   6,345(67).

4. Davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish. 

Sof davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun butun qismi 0 dan farqli bo'lsa, butun qismi yoziladi, kasr qismining suratiga davrdagi son yoziladi, maxrjiga davrdagi raqamlar miqdoricha 9 yoziladi. 

M-n, 

Aralash davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun suratiga barcha raqamlarni yozib, undan davrgacha raqamlar ayriladi, maxrajiga esa davrdagi raqamlar miqdoricha 9 va davrga kirmagan kasr raqamlaricha 0 yoziladi.

M-n, 

O'nli kasrlar

 1. Maxraji 10 va uning darajalari bo'lgan kasrlarni o'nli kasrlar deyiladi.

Masalan, 
2. Agar o'nli kasrning o'ng tomoniga istalgancha 0 yozilsa, uning qiymati o'zgarmaydi.

M-n, 12,7=12,70=12,700 va h.k.

3. O'nli kasrni 10, 100, 1000 va h.k. ko'paytirish uchun kasrdagi vergulni ko'paytuvchida nechta nol bo'lsa, shuncha o'ngga suriladi.

M-n, 3,758 · 100 = 375,8

O'nli kasrni 10, 100, 1000 va h.k. bo'lish uchun kasrdagi vergulni ko'paytuvchida nechta nol bo'lsa, shuncha chapga suriladi.

M-n, 176,25 : 100 = 1,7625

4. O'nli kasrlarni qo'shish va ayirish. O'nli kasrlarni verguli ustma-ust tushadigan qilib yoziladi va amal bajariladi. 

M-n, 12,7+3,442=16,142         13,1-0,37=12,73

5. O'nli kasrlarni ko'paytirish. Ko'paytirishda vergulga e'tibor bermay ko'paytirish amali bajariladi. So'ngra hosil bo'lgan sonda o'ng tomondan har bir ko'paytuvchida verguldan keyin nechta xona bo'lsa, shuncha sanab vergul qo'yiladi.

M-n, 12,27·0,021=0,25767

6. O'nli kasrlarni bo'lish. Bo'lish uchun bo'luvchida butun son hosil bo'lguncha bo'linuvchi va bo'luvchilarning o'ngga suriladi. So'ngra burchak usulida bo'linadi.

M-n,  2,576:1,12=257,6:112=2,3

Kasr sonlar

 1. Butunning bir yoki bir nechta bo'lagi oddiy kasr deyiladi.

-kasrda m - kasrning surati, n - kasrning maxraji deyiladi.

2. Har qanday natural sonni maxraji 1 ga teng oddiy kasr shaklida yozish mumkin. 

3. Agar kasrning surati maxrajidan kichik bo'lsa to'g'ri kasr, katta bo'lsa noto'g'ri kasr deyiladi.

Masalan, 

4. Kasrning asosiy xossasi:

Agar kasrning surati va maxrajini aynan bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa berilgan kasrga teng bo'lgan kasr hosil bo'ladi.

Masalan, 

5. Kasrni qisqartirish. Kasrning surat va maxrajini aynan bir xil songa bo'lish kasrni qisqartirish deyiladi. 

surat va maxrajini 3 ga bo'lindi (3 ga qisqartirildi).

Agar surat va maxraji o'zaro tub sonlar bo'lsa, qisqarmaydigan kasr deyiladi.

6. Kasrlarni taqoslash. 

Bir xil marajli kasrlardan qaysi birining surati katta bo'lsa o'sha kasr katta bo'ladi.

Masalan,

Bir xil suratli kasrlardan qaysi birining maxraji kichik bo'lsa o'sha kasr katta bo'ladi.

Masalan,

Har xil maxrajli va har xil suratli kasrlarni taqqoslash uchun birinchi kasr suratini ikkinchi kasr maxrajiga, ikkinchisini suratini birinchisini maxrajiga ko'paytirib taqqoslanadi.

Masalan,

7. Kasrlarni qo'shish va ayirish.

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirishda ularning suratlari hisoblanadi, maxraji o'zgarmaydi.

Misol.

Har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish uchun ularni bir xil umumiy maxrajga keltiriladi. Uumumiy maxraj uchun bu kasr maxrajidagi sonlarning EKUKi topiladi.

Misol.

8. Kasrlarni ko'paytirish.

Kasrlarni ko'paytirganda suratlari alohida maxrajlari alohida ko'paytiriladi.

Misol.

9. Kasrlarni bo'lish.

Oddiy kasrlarni bo'lish uchun 1-kasrni surati 2-kasrni maxrajiga ko'paytiriladi va suratga yoziladi, 2-kasrni surati 1-kasrni maxrajiga ko'paytiriladi va maxrajga yoziladi.

Misol.

Qoldiqli bo'lish

 Qoldiqli bo'lish.

1. a=b·n+r. Bunda a - bo'linuvchi, b - bo'luvchi, n - bo'linma, r - qoldiq. 0<r<b.

misolida 46 - bo'linuvchi, 7 - bo'luvchi, 6 - bo'linma, 4 - qoldiq hisoblanadi.

46=7·6+4  -  qoldiqli bo'lish,

46=7·5+11 va 46=7·7-3  qoldiqli bo'lish emas. Chunki qoldiq + ishorada va bo'luvchidan kichik bo'lishi kerak! (0<r<b).

2. 3²⁰ ni 7 ga bo'lgandagi qoldiqni toping. 

(a·b+c)ⁿ sonni d ga bo'lgandagi qoldiq cⁿ ni d ga bo'lgandagi qoldiqqa teng.

3²⁰ = 9¹⁰ = (7+2)¹⁰ = 7n+2¹⁰ = 7n+32² = 7n+(4·7+4)² = 7n+7n₁+4² = 7(n+n₁)+7·2+2 = 7(n+n₁+2)+2. Qoldiq 2.

3. a sonni d ga bo'lgandagi qoldiq c, b sonni d ga bo'lgandagi qoldiq t bolsa:

a+b ni d ga bo'lgandagi qoldiq c+t ga teng;

a·b ni d ga bo'lgandagi qoldiq c·t ga teng bo'ladi.

Agar c+t yoki c·t    d dan katta bo'lsa, ifoda takror d ga bo'linadi.

4. N natural sonni 9 ga bo'lganda hosil bo'ladigan qoldiq, shu natural sonning raqamlari yig'indisini 9 ga bo'lgandagi qoldiqqa teng.