To'plam. To'plamlar ustida amallar.

 Matematikada ayrim tushunchalar poydevor sifatida ishlatilib, ta'rifi bo'lmaydi. Ular nuqta, to'g'ri chiziq, son va h.klar.

 Shunday tushunchalardan biri "to'plam"dir. To'plam deyilganda ma'lum bir obyektning o'xshash xossalariga ko'ra guruhlash tushuniladi. Masalan, o'simliklar to'plami - paxta, bug'doy, arpa va h.k; dengizlar to'plami - Orol dengizi, Kaspiy dengizi, Qora dengiz va h.k.

To'plam tarkibida kirgan predmetlarni uning "elementlari" deyiladi. To'plamni katta harflar A,B,C, ... va h.k. bilan belgilanadi. A={a,b,c,...} yozuv A to'plam a,b,c,... elementlardan tashkil topganligini bildiradi. a element A to'plamga tegishli bo'lsa, uni a∈A ko'rinishda belgilanadi. Agar a element A to'plamga tegishli bo'lmasa uni a∉A ko'rinishda yoziladi.

Chekli elemetlardan tashkil topgan to'plam chekli top'lam, aks holda cheksiz top'lam deyiladi. Masalan, o'nli sanoq sistemasidagi raqamlar to'plami chekli to'plam, natural sonlar to'plami cheksiz toplam. Elemantlari bo'lmagan to'plam bo'sh to'plam deyiladi va ∅ belgi bilan belgilanadi.

Agar A va B to'plamlar bir xil elementlardan tashkil topsa, ularni teng to'plamlar deyiladi. Bu holda A=B ko'rinishda yoziladi. Agar A to'plamning istalgan elementi B to'plamga tegishli bo'lsa, u holda A to'plamni B to'plam osti deyiladi va A⊂B kabi belgilanadi. Masalan, A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5} bundan A⊂B. ∅ to'plam har qanday to'plamning to'plam ostisi bo'ladi. 

To'plamlar ustida amallar

1-rasm.

1. A va B to'plamlarning birlashmasi deb, A yoki B to'plamning barcha elementlari to'plami tushuniladi va A∪B ko'rinishda belgilanadi.  A∪B={x | x∈A yoki x∈B} (1-rasm). 

Masalan, A={a, c, d, f}, B={a, b, c, e, f, h},  A∪B={a, b, c, d, e, f, h}.

2-rasm.

2. A va B to'plamlarning kesishmasi deb, A va B to'plamning barcha elementlari to'plami tushuniladi va A∩B ko'rinishda belgilanadi.  A∩B={x | x∈A va x∈B} (2-rasm).

Masalan, A={a, c, d, f}, B={a, b, c, e, f, h},  A∩B={a, c, f}.

A∩B=∅ bo'lsa, A va B to'plam kesishmaydi deyiladi.

3-rasm.

3. Ko'pincha ko'rilayotgan to'plam boshqa bir asosiy yoki universal U to'plamning to'plamning to'plam ostisi deyiladi. U to'plamning A to'plamga kirmaydigan elementlari to'plami A to'plam to'ldiruvchisi deyiladi va Ā yoki A′ kabi belgilanadi. 

Ā={x | x∉A} (3-rasm).

A∪Ā=U

A∩Ā=∅

Masalan, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={1,2,4,6,7}, Ā={3,5,8,9}.

4-rasm.

4. A va B to'plamlarning ayirmasi deganda A to'plamga tegishli, lekin B to'plamga tegishli bo'lmagan elementlardan iborat to'plamni tushuniladi va A\B kabi belgilanadi. A\B={x | x∈A va x∉B} (4-rasm).

Masalan, A={a, c, d, f}, B={a, b, c, e, f, h},  A\B={d}.

5-rasm

5. A va B to'plamlarning simmetrik ayirmasi deganda A∆B=(A\B)∪(B\A) tushuniladi (5-rasm).

Masalan, A={a, c, d, f}, B={a, b, c, e, f, h},  A∆B={d, b, e, h}.

To'plamlar va ular ustida bajariladigan amallarni 1-5 rasmlardagi Eyler-Venn diagrammalarida tasvirlanadi.

To'plamlar ustida  bajariladigan amallarning xossalari

Kommutativlik:

1. A∪B=B∪A

2. A∩B=B∩A

Assosiativlik:

3. (A∪B)∪C= A∪(B∪C)

4. (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

Distributivlik:

5. (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)

6. (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

Idempotentlik:

7. A∪A=A

8. A∩A=A

de Morgan qonuni:

9. (A∪B)′=B′∩A′

10. (A∩B)′=B′∪A′

Boshqa xossalari:

11. A∪∅=A

12. A∩∅=∅

13. ∅′=U

14. U′= ∅

15. A∪U=U

16. A∩U=A

17. A∪A′=U

18. A∩A′=∅

19. X\(A∩B)=(X\A)∪(X\B)

20. X\(A∪B)=(X\A)∩(X\B)

21. A\(A\B)=A∩B

22. (A∪B)\(A∩B)=A∆B