Asosiy geometrik tushunchalar.

 Tekislik, nuqta, to'g'ri chiziq geometriyaning asosiy tushunchlaridir. Ularga ta'rif berilmaydi. 

Tekislikdagi asosiy geometrik figuralar nuqta va to'g'ri chiziq hisoblanadi. Nuqtalarni lotin alifbosidagi bosh harflar A, B, C, D, ... bilan belgilanadi. To'g'ri chiziqlar kichkina harflar bilan belgilanadi: a, b, c, ... (1-rasm).

1-rasm.

To'g'ri chiziqni shuningdek AB tarzida ham belgilash mumkin.

Geometrik shakllar xossalarini to'g'riligini belgilovchi mulohazalar isbotlash deyiladi.

Geometrik shakl xossasining to'g'riligini isbotlab ko'rsatiladigan gap teorema deyiladi.

Shakllarning xossasini isbotsiz qabul qilinadigan gapga aksioma deyiladi.

Matematik induksiya metodi

 Induksiya - xususiy holdan umumiyga o'tish deganidir.

Matematik induksiya metodi matmatikaning turli sohalarida formulalarni, tengsizliklarni, teoremalarni isbotlashda qo'llaniladi.

Teorema (matematik induksiya prinsipi). A(n) tasdiq barcha n qiymatlar uchun o'rinli bo'ladi, agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. Tasdiq A(1) uchun o'rinli ("induksiya bazisi").

2. Istalgan k natural son uchun A(1), A(2), ... , A(k) uchun o'rinli deb hisoblab ("induksiya farazi"), A(k+1) uchun ham o'rinli ("induktiv o'tish").

Izoh. Ba'zan induksiya bazasini A(n₀) ga almashtiriladi. Bunda n₀ - belgilangan son.

Masalan: 1・1!+2・2!+3・3!+...+n・n!=(n+1)!-1. tenglikni isbotlash talab qilinadi. Bunda n!=1・2・3・...・n.

Isboti. 

1 qadam (induksiya bazisi). n=1 uchun 1・1!=(1+1)!-1. Demak A(1) uchun o'rinli. n=k uchun ham A(k) o'rinli deb hisoblaymiz, ya'ni 1・1!+2・2!+3・3!+...+k・k!=(k+1)!-1 (induksiya farazi).

2 qadam (induktiv o'tish). n=k+1 bo'lsin. U holda (1・1!+2・2!+3・3!+...+k・k!+(k+1)(k+1)!=(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+1)!(k+1+1)-1=(k+2)!-1. Biz A(k)⇒A(k+1) ni isbotladik. Demak, tenglik  barcha n∊N uchun o'rinli.

Tub va murakkab sonlar

 1. Faqat o'ziga va birga bo'linadigan natural sonlarga tub sonlar deyiladi. Masalan: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... . (1000 gacha bo'lgan tub sonlar jadvali)

2. Ikkitadan ortiq bo'luvchisi bo'lgan natural sonlarga murakkab sonlar deyiladi. Masalan: 4, 9, 21, 36, ... .

3. 1 soni tub ham, murakkab ham emas.

4. Har qanday murakkab sonni tub sonlar ko'paytmasi ko'rinishida ifodalash mumkin. Buning uchun murakkab sonni tub sonlarga ketma-ket bo'linadi. 

Misol. 1) 36 soni quyidagicha tub sonlarga ajratiladi:

36=2²⋅3² 

^{2) 24 soni quyidagicha tub sonlarga ajraladi:}

24=2³⋅3

5. Berilgan N sonni tub ekanini aniqlash uchun uni √N sonigacha bo'lgan tub sonlarga bo'lib ko'rish yetarli. Masalan, 751 sonini √751≈27 gacha bo'lgan tub sonlar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sonlariga bo'lib ko'riladi. Bu sonlarning hech qaysisiga bo'linmaydi. Demak, 751 tub son ekan.

6. Berilgan A sonning natural bo'luvchilari soni (NBS) quyidagicha topiladi. A soni tub ko'paytuvchilarga ajratiladi: A=a^m⋅bⁿ⋅c^k.
NBS=(m+1)⋅(n+1)⋅(k+1) ga teng. 

Misol. 1) 36 sonining NBS ni topamiz. 36=2²⋅3². NBS(36)=(2+1)⋅(2+1)=3⋅3=9.
2) 24 sonining NBS ni topamiz. 24=2³⋅3. NBS(24)=(3+1)⋅(1+1)=4⋅2=8.

7. Natural bo'luvchilari yig'indisi (NBY).

Misol. 1) 36 ning natural bo'luvchilar yig'indisi. 36=2²⋅3²:

Trigonometrik tengsizliklarni yechish formulalari

Trigonometrik tengsizliklarni yechish formulalari
1. sin x ≥ a, (|a|≤1)
arcsin a + 2πk ≤ x ≤ π-arcsin a + 2πk.
2. sin x ≤ a,  (|a|≤1)
-π-arcsin a + 2πk ≤ x ≤ arcsin a + 2πk.
3. cos x ≥ a,(|a|≤1)
-arccos a + 2πk ≤ x ≤ arccos a + 2πk.
4. cos x ≤ a,(|a|≤1)
arccos a + 2πk ≤ x ≤ 2π-arccos a + 2πk.
5. tg x ≥ a
arctg a+πk ≤ x ≤ π/2+πk.
6. tg x ≤ a
-π/2+πk ≤ x ≤ arctg a+πk.
7. ctg x ≥ a

πk ≤ x ≤ arcctg a+πk.
8. ctg x ≤ a
arcctg a+πk ≤ x ≤ πk.

Misol: sin x > 0.5 tengsizlikni yeching.
Yechish:
arcsin 0.5 + 2πk < x < π-arcsin 0.5 + 2πk,
π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.
Javob: π/6 + 2πk < x < 5π/6 + 2πk, k-butun son.

Trigonometriya

O'rta qiymatlar

1. O'rta arifmetik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta arifmetigi: A=(3+7+1+8)/4=4,75.

2. O'rta geometrik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta geometrik qiymati: 

3. O'rta garmonik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta garmonik qiymati: 

4. O'rta kvadratik qiymat:

Masalan: 3; 7; 1; 8 sonlarining o'rta kvadratik qiymati:

5. O'rta vazn qiymat:

Masalan: Moddiy nuqta 3 soat 70 km/s tezlik bilan, 2 soat 62 km/s tezlik bilan, 4 soat 65 km/soat tezlik bilan yurdi. Uning o'rtacha tezligi qanday bo'lganini toping.

Yechish:

Javob: 66 km/soat.

6. O'rta proporsional qiymat:

Masalan: 3 va 4 sonlarining o'rta proporsional qiymati: 

Butun sonlar ustida amallar

Butun sonlar toʻplami Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

1. Butun sonlarni qoʻshish qoidasi:
a) Bir xil ishorali sonlarni qoʻshish uchun ularning modullarini qoʻshib, soʻngra, yigʻindi oldiga qoʻshiluvchilarning ishorasi qoʻyiladi.
Masalan
1)  -4+(-7)=-11
2)  +8+(+9)=+17
Odatda + ishora qoʻyilimaydi va ikkinchi misol 8+9=17 kabi yoziladi.
3)  -45+(-38)=-83
b) Har xil ishorali sonlarni qoʻshish uchun ularning moduli kattasidan moduli kichigini ayirib, ayirma oldiga moduli kattasini ishorasini qoʻyiladi.
Masalan
1)  -4+(+7)=+3=3
Bu misol bunday yozilishi mumkin: -4+7=3
2)  -7+5=-2
3)  57+(-45)=12
4)  32+(-70)=-38

d) qarama-qarshi sonlar yig'indisi 0 ga teng: n+(-n)=0

5) 2+(-2)=0

6) -3+3=0

Har qanday son unga musbat son qo'shilsa ortadi, manfiy son qo'shilsa kamayadi.
e) songa 0 ni qo'shish sonni o'zgartirmaydi: k+0=k

7) -2+0=-2

2. Butun sonlarni ayirish qoidasi:
a) Butun sonlarni ayirish uchun kamayuvchiga "ayriluvchiga qarama-qarshi" sonni qoʻshish kerak.
Masalan
1)  -9-(-6)=-9+6=-3
2)  -12-5=-12+(-5)=-17
3)  21-34=21+(-34)=-13
4)  31-(-10)=31+10=41

b) 0 dan sonni ayirish: 0-n=-n

5) 0-3=-3

6) 0-(-2)=2

d) sondan 0 ni ayirish: k-0=k

7) -3-0=-3

3. Butun sonlarni ko'paytirish:

a) bir xil ishorali sonlarni ko'paytirishda ularning modullari ko'paytiriladi va ko'paytma oldiga "+" ishora qo'yiladi:

1) -16·(-3)=|-16|·|-3|=16·3=48

2) 5·14=70

b) har xil ishorali sonlarni ko'paytirishda ularning modullari ko'paytiriladi va ko'paytma oldiga "-" ishora qo'yiladi:

3) 12·(-3)=-|12|·|-3|=-12·3=-36

4) -15·4=-|-15|·|4|=-15·4=-60

d) sonni 0 ga ko'paytirish: n·0=0;  0·n=0

5) (+5)·0=0

6) (-3)·0=0

7) 0·(+5)=0

8) 0·(-3)=0

e) sonni -1 ga ko'paytirganda uning ishorasi o'zgaradi, xolos: n·(-1)=-n;  -1·n=-n

9) -5·(-1)=5

10) 8·(-1)=-8

4. Butun sonlarni bo'lish:

a) bir xil ishorali sonlarni bo'lishda ularning modullari bo'linadi va bo'linma oldiga "+" ishora qo'yiladi:

1) -21:(-7)=|-21|:|-7|=21:7=3

2) +24:(+3)=|+24|:|+3|=24:3=8

b) har xil ishorali sonlarni bo'lishda ularning modullari bo'linadi va bo'linma oldiga "-" ishora qo'yiladi:

3) -24:8=-|-24|:|8|=-24:8=-3

4) 30:(-5)=-|30|:|-5|=-30:5=-6

d) 0 ni noldan farqli n songa bo'lish 0 ga teng: 0:n=0

5) 0:(-9)=0

6) 0:(+7)=0

e) 0 ga bo'lish mumkin emas! 

f) bo'luvchi -1 ga teng bo'lsa, bo'linma qarama-qarshi son bo'ladi: n:(-1)=-n

7) -9:(-1)=9

8) 8:(-1)=-8