Matematik induksiya metodi

 Induksiya - xususiy holdan umumiyga o'tish deganidir.

Matematik induksiya metodi matmatikaning turli sohalarida formulalarni, tengsizliklarni, teoremalarni isbotlashda qo'llaniladi.

Teorema (matematik induksiya prinsipi). A(n) tasdiq barcha n qiymatlar uchun o'rinli bo'ladi, agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. Tasdiq A(1) uchun o'rinli ("induksiya bazisi").

2. Istalgan k natural son uchun A(1), A(2), ... , A(k) uchun o'rinli deb hisoblab ("induksiya farazi"), A(k+1) uchun ham o'rinli ("induktiv o'tish").

Izoh. Ba'zan induksiya bazasini A(n₀) ga almashtiriladi. Bunda n₀ - belgilangan son.

Masalan: 1・1!+2・2!+3・3!+...+n・n!=(n+1)!-1. tenglikni isbotlash talab qilinadi. Bunda n!=1・2・3・...・n.

Isboti. 

1 qadam (induksiya bazisi). n=1 uchun 1・1!=(1+1)!-1. Demak A(1) uchun o'rinli. n=k uchun ham A(k) o'rinli deb hisoblaymiz, ya'ni 1・1!+2・2!+3・3!+...+k・k!=(k+1)!-1 (induksiya farazi).

2 qadam (induktiv o'tish). n=k+1 bo'lsin. U holda (1・1!+2・2!+3・3!+...+k・k!+(k+1)(k+1)!=(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+1)!(k+1+1)-1=(k+2)!-1. Biz A(k)⇒A(k+1) ni isbotladik. Demak, tenglik  barcha n∊N uchun o'rinli.