Logarifm

 1. a asosga ko'ra b sonning logarifmi deyilganda, b sonni hosil qilish uchun a sonni ko'tarish kerak bo'ladigan daraja ko'rsatkichi tushuniladi. 

log_ab  -  kabi yoziladi.

Masalan, log₃9=2. chunki 3²=9.

2. a^x=b dan,  x=log_ab.  a^log_ab=b  asosiy logarifmik ayniyat deyiladi.

Masalan,  5^log₅8=8.

3. O'nli asosga ega bo'lgan logarifmni o'nli logarifm deyiladi va lgb kabi belgilanadi, ya'ni, log₁₀b = lgb.

Masalan, lg100=2; lg1000=3.

4. e (e=2,711828...) asosga ega bo'lgan logarifmni natural logarifm deyiladi va lnb kabi belgilanadi, ya'ni, log_eb = lnb.

Masalan, lne=1; ln1=0.

Xossalari:

1°. Logarifm faqat musbat sonlar uchun mavjud bo'ladi. log_ab (a>0 va a≠1), b>0 bo'lsa mavjud.

2°. a>1 bo'lganda: 

b>1 bo'lsa, log_ab > 0;  

0<b<1 bo'lsa, log_ab < 0.

Masalan, log₂5>0; log₃0,2<0.

3°. 0<a<1 bo'lganda: 

b>1 bo'lsa, log_ab < 0; 

0<b<1 bo'lsa, log_ab > 0.

Masalan, log_2/35<0; log_0,20,1>0.

4°. a>1 va b>c bo'lsa, log_ab > log_ac.

Masalan, log₇3 > log₇2.

Formulalar:

1. log_a1 = 0.

2. log_aa = 1.

3. log_a(b⋅c) = log_ab+log_ac.

4. log_a(b/c) = log_ab-log_ac.

5. log_a^mb = (1/m)⋅log_ab.

6. log_ab^m = m⋅log_ab.

7. log_ab = log_a^mb^m.

8. log_ab = log_cb / log_ca.

9. log_ab = 1 / log_ba.

Kasr maxrajini irratsionallikdan qutqarish

 

1.  ko'rinishdagi kasrni maxrajini irratsionallikdan qutqarish uchun uni surat va maxrajini 

 ga ko'paytirish kerak, ya'ni:

Masalan,

2.  

 kasr uchun quyidagi formula o'rinli:

Masalan,

Va yana quyidagi formulalardan ham irratsionalikni yo'qotishda foydalaniladi.

3. 

4. 

5. 

6. 

Ildizlar

Ta'rif. a nomanfiy sonning n≥2 natural ko’rsatkichli arifmetik ildizi deb, n-darajasi a ga teng bo’lgan nomanfiy soniga aytiladi.

a sonning n-darajali arifmetik ildizi

 kabi belgilanadi. 

Agar n=2 bo’lsa,  

o’rniga

 yoziladi.

Misol. 

chunki 4>0 va 4^3=64

Arifmetik ildiz ta’rifidan, agar a≥0 bo’lsa

bo'lishi kelib chiqadi.

Masalan, 

Xossalari

Daraja va uning xossalari

 1. a sonini n darajaga ko'tarish deyilganda 

tushuniladi. a∈Q, n∈N.

M-n, 1) 4·4·4 = 4³= 64;   2) 5·5·5·5= 5⁴= 625.

2. Darajaning xossalari:

1. aⁿ·a^m = a^n+m
2. aⁿ:a^m = a^n-m
3. (aⁿ)^m = (a^m)ⁿ = a^nm
4. (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
5. (a:b)ⁿ = aⁿ:bⁿ
6. 1ⁿ = 1
7. a⁰ = 1
8. a¹ = a
9. (-1)²ⁿ = 1
10. (-1)²ⁿ⁺¹ = -1
11. (-a)²ⁿ = a²ⁿ
12. (-a)²ⁿ⁺¹ = -a²ⁿ⁺¹
13. (aⁿ)^m ≠ a^nm
14. 0⁰ - ma'noga ega emas.
15. a^-n = 1/aⁿ
16. agar 0<a<b va x>0 bo'lsa, a^x < b^x
17. agar 0<a<b va x<0 bo'lsa, a^x > b^x
18. agar x<y va a>1 bo'lsa, a^x < a^y
19. agar x<y va 0<a<1 bo'lsa, a^x > a^y

Misollar.

1. 4² · 4³ = 4²⁺³ = 4⁵ = 1024

2. 5⁴ : 5² = 5^4-2 = 5² = 25

3. (3²)³ = 3^2·3 = 3⁶ = 729

4. (6 · 3)² = 6² · 3² = 36 · 9 = 324

5. (8 : 2)² = 8² : 2² = 64 : 4 = 16

6. 1²⁵ = 1

7. 123⁰ = 1

8. 5898¹ = 5898.

Davriy kasrlar

 1. Butun qismidan so'ng kasr qismida darhol yoki bir nechta raqamdan so'ng cheksiz takrorlanadigan o'nli kasrga davriy kasr deyiladi. 

M-n,  0,555...;  2,6333...;   4,26725252... .

Ularni 0,(5);   2,6(3);   4,267(25) deb belgilanadi. (5), (3), (25) - kasrning davri deyiladi.

2. Butun qismidan so'ng darhol davr boshlanadigan davriy kasrlar sof davriy kasrlar deyiladi.

M-n, 1,(34);  9,(3).

3. Kasr qismida bir yoki bir nechta raqamdan so'ng davr boshlanadigan kasrlar aralash davriy kasrlar deyiladi. 

M-n,  5,0(27);   6,345(67).

4. Davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish. 

Sof davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun butun qismi 0 dan farqli bo'lsa, butun qismi yoziladi, kasr qismining suratiga davrdagi son yoziladi, maxrjiga davrdagi raqamlar miqdoricha 9 yoziladi. 

M-n, 

Aralash davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun suratiga barcha raqamlarni yozib, undan davrgacha raqamlar ayriladi, maxrajiga esa davrdagi raqamlar miqdoricha 9 va davrga kirmagan kasr raqamlaricha 0 yoziladi.

M-n, 

O'nli kasrlar

 1. Maxraji 10 va uning darajalari bo'lgan kasrlarni o'nli kasrlar deyiladi.

Masalan, 
2. Agar o'nli kasrning o'ng tomoniga istalgancha 0 yozilsa, uning qiymati o'zgarmaydi.

M-n, 12,7=12,70=12,700 va h.k.

3. O'nli kasrni 10, 100, 1000 va h.k. ko'paytirish uchun kasrdagi vergulni ko'paytuvchida nechta nol bo'lsa, shuncha o'ngga suriladi.

M-n, 3,758 · 100 = 375,8

O'nli kasrni 10, 100, 1000 va h.k. bo'lish uchun kasrdagi vergulni ko'paytuvchida nechta nol bo'lsa, shuncha chapga suriladi.

M-n, 176,25 : 100 = 1,7625

4. O'nli kasrlarni qo'shish va ayirish. O'nli kasrlarni verguli ustma-ust tushadigan qilib yoziladi va amal bajariladi. 

M-n, 12,7+3,442=16,142         13,1-0,37=12,73

5. O'nli kasrlarni ko'paytirish. Ko'paytirishda vergulga e'tibor bermay ko'paytirish amali bajariladi. So'ngra hosil bo'lgan sonda o'ng tomondan har bir ko'paytuvchida verguldan keyin nechta xona bo'lsa, shuncha sanab vergul qo'yiladi.

M-n, 12,27·0,021=0,25767

6. O'nli kasrlarni bo'lish. Bo'lish uchun bo'luvchida butun son hosil bo'lguncha bo'linuvchi va bo'luvchilarning o'ngga suriladi. So'ngra burchak usulida bo'linadi.

M-n,  2,576:1,12=257,6:112=2,3