To'plam. To'plamlar ustida amallar.

 Matematikada ayrim tushunchalar poydevor sifatida ishlatilib, ta'rifi bo'lmaydi. Ular nuqta, to'g'ri chiziq, son va h.klar.

 Shunday tushunchalardan biri "to'plam"dir. To'plam deyilganda ma'lum bir obyektning o'xshash xossalariga ko'ra guruhlash tushuniladi. Masalan, o'simliklar to'plami - paxta, bug'doy, arpa va h.k; dengizlar to'plami - Orol dengizi, Kaspiy dengizi, Qora dengiz va h.k.

To'plam tarkibida kirgan predmetlarni uning "elementlari" deyiladi. To'plamni katta harflar A,B,C, ... va h.k. bilan belgilanadi. A={a,b,c,...} yozuv A to'plam a,b,c,... elementlardan tashkil topganligini bildiradi. a element A to'plamga tegishli bo'lsa, uni a∈A ko'rinishda belgilanadi. Agar a element A to'plamga tegishli bo'lmasa uni a∉A ko'rinishda yoziladi.

Chekli elemetlardan tashkil topgan to'plam chekli top'lam, aks holda cheksiz top'lam deyiladi. Masalan, o'nli sanoq sistemasidagi raqamlar to'plami chekli to'plam, natural sonlar to'plami cheksiz toplam. Elemantlari bo'lmagan to'plam bo'sh to'plam deyiladi va ∅ belgi bilan belgilanadi.

Agar A va B to'plamlar bir xil elementlardan tashkil topsa, ularni teng to'plamlar deyiladi. Bu holda A=B ko'rinishda yoziladi. Agar A to'plamning istalgan elementi B to'plamga tegishli bo'lsa, u holda A to'plamni B to'plam osti deyiladi va A⊂B kabi belgilanadi. Masalan, A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5} bundan A⊂B. ∅ to'plam har qanday to'plamning to'plam ostisi bo'ladi. 

To'plamlar ustida amallar

1-rasm.

1. A va B to'plamlarning birlashmasi deb, A yoki B to'plamning barcha elementlari to'plami tushuniladi va A∪B ko'rinishda belgilanadi.  A∪B={x | x∈A yoki x∈B} (1-rasm). 

Masalan, A={a, c, d, f}, B={a, b, c, e, f, h},  A∪B={a, b, c, d, e, f, h}.

2-rasm.

2. A va B to'plamlarning kesishmasi deb, A va B to'plamning barcha elementlari to'plami tushuniladi va A∩B ko'rinishda belgilanadi.  A∩B={x | x∈A va x∈B} (2-rasm).

Masalan, A={a, c, d, f}, B={a, b, c, e, f, h},  A∩B={a, c, f}.

A∩B=∅ bo'lsa, A va B to'plam kesishmaydi deyiladi.

3-rasm.

3. Ko'pincha ko'rilayotgan to'plam boshqa bir asosiy yoki universal U to'plamning to'plamning to'plam ostisi deyiladi. U to'plamning A to'plamga kirmaydigan elementlari to'plami A to'plam to'ldiruvchisi deyiladi va Ā yoki A′ kabi belgilanadi. 

Ā={x | x∉A} (3-rasm).

A∪Ā=U

A∩Ā=∅

Masalan, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={1,2,4,6,7}, Ā={3,5,8,9}.

4-rasm.

4. A va B to'plamlarning ayirmasi deganda A to'plamga tegishli, lekin B to'plamga tegishli bo'lmagan elementlardan iborat to'plamni tushuniladi va A\B kabi belgilanadi. A\B={x | x∈A va x∉B} (4-rasm).

Masalan, A={a, c, d, f}, B={a, b, c, e, f, h},  A\B={d}.

5-rasm

5. A va B to'plamlarning simmetrik ayirmasi deganda A∆B=(A\B)∪(B\A) tushuniladi (5-rasm).

Masalan, A={a, c, d, f}, B={a, b, c, e, f, h},  A∆B={d, b, e, h}.

To'plamlar va ular ustida bajariladigan amallarni 1-5 rasmlardagi Eyler-Venn diagrammalarida tasvirlanadi.

To'plamlar ustida  bajariladigan amallarning xossalari

Kommutativlik:

1. A∪B=B∪A

2. A∩B=B∩A

Assosiativlik:

3. (A∪B)∪C= A∪(B∪C)

4. (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

Distributivlik:

5. (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)

6. (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

Idempotentlik:

7. A∪A=A

8. A∩A=A

de Morgan qonuni:

9. (A∪B)′=B′∩A′

10. (A∩B)′=B′∪A′

Boshqa xossalari:

11. A∪∅=A

12. A∩∅=∅

13. ∅′=U

14. U′= ∅

15. A∪U=U

16. A∩U=A

17. A∪A′=U

18. A∩A′=∅

19. X\(A∩B)=(X\A)∪(X\B)

20. X\(A∪B)=(X\A)∩(X\B)

21. A\(A\B)=A∩B

22. (A∪B)\(A∩B)=A∆B

Tub sonlar jadvali

1000 gacha bo'lgan tub sonlar jadvali. Tub sonlar nima? qarang.

2	3	5	7	11	13	17	19
23	29	31	37	41	43	47	53
59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131
137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	311
313	317	331	337	347	349	535	359
367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457
461	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569
571	577	587	593	599	601	607	613
617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719
727	733	739	743	751	757	761	769
773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881
883	887	907	911	919	929	937	941
947	953	967	971	977	983	991	997

Logarifm

 1. a asosga ko'ra b sonning logarifmi deyilganda, b sonni hosil qilish uchun a sonni ko'tarish kerak bo'ladigan daraja ko'rsatkichi tushuniladi. 

log_ab  -  kabi yoziladi.

Masalan, log₃9=2. chunki 3²=9.

2. a^x=b dan,  x=log_ab.  a^log_ab=b  asosiy logarifmik ayniyat deyiladi.

Masalan,  5^log₅8=8.

3. O'nli asosga ega bo'lgan logarifmni o'nli logarifm deyiladi va lgb kabi belgilanadi, ya'ni, log₁₀b = lgb.

Masalan, lg100=2; lg1000=3.

4. e (e=2,711828...) asosga ega bo'lgan logarifmni natural logarifm deyiladi va lnb kabi belgilanadi, ya'ni, log_eb = lnb.

Masalan, lne=1; ln1=0.

Xossalari:

1°. Logarifm faqat musbat sonlar uchun mavjud bo'ladi. log_ab (a>0 va a≠1), b>0 bo'lsa mavjud.

2°. a>1 bo'lganda: 

b>1 bo'lsa, log_ab > 0;  

0<b<1 bo'lsa, log_ab < 0.

Masalan, log₂5>0; log₃0,2<0.

3°. 0<a<1 bo'lganda: 

b>1 bo'lsa, log_ab < 0; 

0<b<1 bo'lsa, log_ab > 0.

Masalan, log_2/35<0; log_0,20,1>0.

4°. a>1 va b>c bo'lsa, log_ab > log_ac.

Masalan, log₇3 > log₇2.

Formulalar:

1. log_a1 = 0.

2. log_aa = 1.

3. log_a(b⋅c) = log_ab+log_ac.

4. log_a(b/c) = log_ab-log_ac.

5. log_a^mb = (1/m)⋅log_ab.

6. log_ab^m = m⋅log_ab.

7. log_ab = log_a^mb^m.

8. log_ab = log_cb / log_ca.

9. log_ab = 1 / log_ba.

Kasr maxrajini irratsionallikdan qutqarish

 

1.  ko'rinishdagi kasrni maxrajini irratsionallikdan qutqarish uchun uni surat va maxrajini 

 ga ko'paytirish kerak, ya'ni:

Masalan,

2.  

 kasr uchun quyidagi formula o'rinli:

Masalan,

Va yana quyidagi formulalardan ham irratsionalikni yo'qotishda foydalaniladi.

3. 

4. 

5. 

6. 

Ildizlar

Ta'rif. a nomanfiy sonning n≥2 natural ko’rsatkichli arifmetik ildizi deb, n-darajasi a ga teng bo’lgan nomanfiy soniga aytiladi.

a sonning n-darajali arifmetik ildizi

 kabi belgilanadi. 

Agar n=2 bo’lsa,  

o’rniga

 yoziladi.

Misol. 

chunki 4>0 va 4^3=64

Arifmetik ildiz ta’rifidan, agar a≥0 bo’lsa

bo'lishi kelib chiqadi.

Masalan, 

Xossalari

Daraja va uning xossalari

 1. a sonini n darajaga ko'tarish deyilganda 

tushuniladi. a∈Q, n∈N.

M-n, 1) 4·4·4 = 4³= 64;   2) 5·5·5·5= 5⁴= 625.

2. Darajaning xossalari:

1. aⁿ·a^m = a^n+m
2. aⁿ:a^m = a^n-m
3. (aⁿ)^m = (a^m)ⁿ = a^nm
4. (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
5. (a:b)ⁿ = aⁿ:bⁿ
6. 1ⁿ = 1
7. a⁰ = 1
8. a¹ = a
9. (-1)²ⁿ = 1
10. (-1)²ⁿ⁺¹ = -1
11. (-a)²ⁿ = a²ⁿ
12. (-a)²ⁿ⁺¹ = -a²ⁿ⁺¹
13. (aⁿ)^m ≠ a^nm
14. 0⁰ - ma'noga ega emas.
15. a^-n = 1/aⁿ
16. agar 0<a<b va x>0 bo'lsa, a^x < b^x
17. agar 0<a<b va x<0 bo'lsa, a^x > b^x
18. agar x<y va a>1 bo'lsa, a^x < a^y
19. agar x<y va 0<a<1 bo'lsa, a^x > a^y

Misollar.

1. 4² · 4³ = 4²⁺³ = 4⁵ = 1024

2. 5⁴ : 5² = 5^4-2 = 5² = 25

3. (3²)³ = 3^2·3 = 3⁶ = 729

4. (6 · 3)² = 6² · 3² = 36 · 9 = 324

5. (8 : 2)² = 8² : 2² = 64 : 4 = 16

6. 1²⁵ = 1

7. 123⁰ = 1

8. 5898¹ = 5898.