Kasr sonlar

 1. Butunning bir yoki bir nechta bo'lagi oddiy kasr deyiladi.

-kasrda m - kasrning surati, n - kasrning maxraji deyiladi.

2. Har qanday natural sonni maxraji 1 ga teng oddiy kasr shaklida yozish mumkin. 

3. Agar kasrning surati maxrajidan kichik bo'lsa to'g'ri kasr, katta bo'lsa noto'g'ri kasr deyiladi.

Masalan, 

4. Kasrning asosiy xossasi:

Agar kasrning surati va maxrajini aynan bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa berilgan kasrga teng bo'lgan kasr hosil bo'ladi.

Masalan, 

5. Kasrni qisqartirish. Kasrning surat va maxrajini aynan bir xil songa bo'lish kasrni qisqartirish deyiladi. 

surat va maxrajini 3 ga bo'lindi (3 ga qisqartirildi).

Agar surat va maxraji o'zaro tub sonlar bo'lsa, qisqarmaydigan kasr deyiladi.

6. Kasrlarni taqoslash. 

Bir xil marajli kasrlardan qaysi birining surati katta bo'lsa o'sha kasr katta bo'ladi.

Masalan,

Bir xil suratli kasrlardan qaysi birining maxraji kichik bo'lsa o'sha kasr katta bo'ladi.

Masalan,

Har xil maxrajli va har xil suratli kasrlarni taqqoslash uchun birinchi kasr suratini ikkinchi kasr maxrajiga, ikkinchisini suratini birinchisini maxrajiga ko'paytirib taqqoslanadi.

Masalan,

7. Kasrlarni qo'shish va ayirish.

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirishda ularning suratlari hisoblanadi, maxraji o'zgarmaydi.

Misol.

Har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish uchun ularni bir xil umumiy maxrajga keltiriladi. Uumumiy maxraj uchun bu kasr maxrajidagi sonlarning EKUKi topiladi.

Misol.

8. Kasrlarni ko'paytirish.

Kasrlarni ko'paytirganda suratlari alohida maxrajlari alohida ko'paytiriladi.

Misol.

9. Kasrlarni bo'lish.

Oddiy kasrlarni bo'lish uchun 1-kasrni surati 2-kasrni maxrajiga ko'paytiriladi va suratga yoziladi, 2-kasrni surati 1-kasrni maxrajiga ko'paytiriladi va maxrajga yoziladi.

Misol.

Qoldiqli bo'lish

 Qoldiqli bo'lish.

1. a=b·n+r. Bunda a - bo'linuvchi, b - bo'luvchi, n - bo'linma, r - qoldiq. 0<r<b.

misolida 46 - bo'linuvchi, 7 - bo'luvchi, 6 - bo'linma, 4 - qoldiq hisoblanadi.

46=7·6+4  -  qoldiqli bo'lish,

46=7·5+11 va 46=7·7-3  qoldiqli bo'lish emas. Chunki qoldiq + ishorada va bo'luvchidan kichik bo'lishi kerak! (0<r<b).

2. 3²⁰ ni 7 ga bo'lgandagi qoldiqni toping. 

(a·b+c)ⁿ sonni d ga bo'lgandagi qoldiq cⁿ ni d ga bo'lgandagi qoldiqqa teng.

3²⁰ = 9¹⁰ = (7+2)¹⁰ = 7n+2¹⁰ = 7n+32² = 7n+(4·7+4)² = 7n+7n₁+4² = 7(n+n₁)+7·2+2 = 7(n+n₁+2)+2. Qoldiq 2.

3. a sonni d ga bo'lgandagi qoldiq c, b sonni d ga bo'lgandagi qoldiq t bolsa:

a+b ni d ga bo'lgandagi qoldiq c+t ga teng;

a·b ni d ga bo'lgandagi qoldiq c·t ga teng bo'ladi.

Agar c+t yoki c·t    d dan katta bo'lsa, ifoda takror d ga bo'linadi.

4. N natural sonni 9 ga bo'lganda hosil bo'ladigan qoldiq, shu natural sonning raqamlari yig'indisini 9 ga bo'lgandagi qoldiqqa teng.

Bo'linish alomatlari

 Bo'linish alomati deb bir sonning ikkinchisiga qoldiqsiz bo'linishini ko'rsatadigan shartga aytiladi.

a sonning b songa qoldiqsiz bo'linishini a፧b kabi belgilaymiz.

M-n, 15፧3 yozuv, 15 soni 3 ga qoldiqsiz bo'linadi degani. 

1. 2 ga bo'linish belgisi. Oxirgi raqami 0;2;4;6;8 bilan tugaydigan sonlar 2 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, 12; 46; 310 sonlari 2 ga qoldiqsiz bo'linadi.

2. 3 ga bo'linish belgisi. Raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linadigan son 3 ga qoldiqsiz bo'linadi, raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linmaydigan son 3 ga qoldiqsiz bo'linmaydi.

M-n, 372 soni 3 ga bo'linadi. Chunki 3+7+2=12, 12፧3. Demak, 372፧3.

3. 4 ga bo'linish belgisi. Oxirgi ikki raqami 4 ga bo'linsa yoki 0 bo'lsa, bu son 4 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, a) 1692 soni berilgan. Oxirgi 2 ta raqami 92፧4. Demak, 1692፧4.

b) 3112300 soni berilgan. Oxirgi 2 ta raqami 0. Demak, 3112300፧4.

4. 5 ga bo'linish belgisi. Oxirgi raqami 0 yoki 5 bilan tugaydigan son 5 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, a) 13215,    b) 6570.

5. 6 ga bo'linish belgisi. Bir vaqtda 2ga ham, 3ga ham bo'linadigan son 6 ga qoldiqsiz bo'lnadi.

M-n, 138፧2 va 138፧3. Demak, 138፧6.

6. 7 ga bo'linish belgisi. Berilgan sondagi o'nlar xonasidagi sondan birlar xonasidagi raqamning ikkilangani ayrilib, ayirmasi 7 ga bo'linsa, bu son 7 ga bo'linadi.

M-n, a) 91 soni berilgan. 9-2⋅1=7;  7፧7. Demak, 91፧7.

b) 1134 soni berigan. 113-2⋅4=105,    10-2⋅5=0,     0፧7.     Demak, 1134፧7.

7. 8 ga bo'linish belgisi. Oxirgi uchta raqami 8 ga bo'linsa yoki 0 bo'lsa, bu son 8 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, 5048 soni berilgan. Oxirgi uchta raqami 048፧8. Demak, 5048፧8.

2000 sonining oxirgi uchta raqami 0 demak, 2000፧8.

8. 9 ga bo'linish belgisi. Raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linadigan son 9 ga qoldiqsiz bo'linadi.

M-n, 5058 soni berilgan. 5+0+5+8=18,    18፧9. Demak, 5058፧9.

9. 10 ga bo'linish belgisi. Oxirgi raqami 0 bilan tugaydigan sonlar 10 ga qoldiqsiz bo'linadi.

10. 11 ga bo'linish belgisi. Berilgan sondagi o'nlar xonasidagi sondan birlar xonasidagi raqam ayrilib, ayirmasi 11 ga bo'linsa, bu son 11 ga bo'linadi.

M-n, a) 121 soni berilgan. 12-1=11,  11፧11.  Demak, 121፧11.

b) 1331 soni berilgan. 133-1=132,   13-2=11,  11፧11. Demak, 1331፧11.

Qolgan sonlarga bo'linish belgilari ularni tub ko'paytuvchilarga ajratish yo'li bilan topiladi. M-n, 45=3²⋅5=9⋅5. Demak, 9 va 5 ga bo'lingan son 45 ga bo'linadi.

11. 12 ga bo'linish belgisi. 12=2²⋅3=4⋅3. Bir vaqtda 3 va 4 ga bo'lnadigan son 12ga bo'linadi.

12. 14 ga bo'linish belgisi. 14=2⋅7. Demak, bir vaqtda 2 va 7 ga bo'linadigan son 14 ga bo'lnadi.

13. 15 ga bo'linish belgisi.  15=3⋅5. Demak, 3 va 5 ga bo'linadigan son 15 ga bo'lnadi.

14. 18 ga bo'linish belgisi. 18=2⋅9. Bundan, 2 va 9 ga bo'linadigan son 18 ga bo'linadi.

15. 20 ga bo'linish belgisi. 20=4⋅5. Demak, 4 va 5 ga bo'linadigan son 20 ga bo'linadi.

16. 21 ga bo'linish belgisi.  Berilgan sondagi o'nlar xonasidagi sondan birlar xonasidagi raqamning ikkilangani ayrilib, ayirmasi 21 ga bo'linsa, bu son 21 ga bo'linadi.
M-n, 3276 soni 21 ga bo'linadimi?

327-6⋅2=315,    31-5⋅2=21,    21፧21. Demak, 3276፧21.   Javob: bo'linadi.

Nisbat. Proporsiya. Proporsiyaning asosiy xossasi

a va b sonlarning nisbati deb ularning bo'linmasi natijasiga aytiladi. Nisbatni 

a:b yoki 

ko'rinishda yozish mumkin. Nisbatni tashkil qiluvchilari uning hadlari deyiladi. a oldingi had, b keyingi had. Nisbat kasrning barcha xossalariga ega.

Nisbatning qiymati 1 dan katta bo'lsa, birinchi son ikkinchisidan ikkinchisidan necha marta katta ekanligini anglatadi. 1 dan kichik bo'lsa, birinchi son ikkinchisining qanday qismini tashkil qilishini bildiradi.

Masalan, a) 36:9 nisbatning qiymati 4 ga teng: 36:9=4.   36 soni 9 dan 4 marta katta.

b) 4:100 nisbatning qiymati 1/25 ga teng. 4 soni 100 ning 25 dan 1 qismini tashkil qiladi.

Ikki nisbatning tengligi proporsiya deyiladi. 

Proporsiya 4 ta hadlardan iborat. a va d chetki hadlar, b va c o'rta hadlar deyiladi.

Proporsiyaning asosiy xossasi. Proporsiyaning chetki hadlari ko'paytmasi uning o'rta hadlari ko'paytmasiga teng:     

a⋅d=b⋅c

Masalan, Proporsiyaning to'g'riligini tekshiring:

Misol. Proporsiyaning noma'lum hadini toping.

Proporsiyaga oid qo'shimcha formulalar.

Asosiy geometrik tushunchalar.

 Tekislik, nuqta, to'g'ri chiziq geometriyaning asosiy tushunchlaridir. Ularga ta'rif berilmaydi. 

Tekislikdagi asosiy geometrik figuralar nuqta va to'g'ri chiziq hisoblanadi. Nuqtalarni lotin alifbosidagi bosh harflar A, B, C, D, ... bilan belgilanadi. To'g'ri chiziqlar kichkina harflar bilan belgilanadi: a, b, c, ... (1-rasm).

1-rasm.

To'g'ri chiziqni shuningdek AB tarzida ham belgilash mumkin.

Geometrik shakllar xossalarini to'g'riligini belgilovchi mulohazalar isbotlash deyiladi.

Geometrik shakl xossasining to'g'riligini isbotlab ko'rsatiladigan gap teorema deyiladi.

Shakllarning xossasini isbotsiz qabul qilinadigan gapga aksioma deyiladi.

Matematik induksiya metodi

 Induksiya - xususiy holdan umumiyga o'tish deganidir.

Matematik induksiya metodi matmatikaning turli sohalarida formulalarni, tengsizliklarni, teoremalarni isbotlashda qo'llaniladi.

Teorema (matematik induksiya prinsipi). A(n) tasdiq barcha n qiymatlar uchun o'rinli bo'ladi, agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. Tasdiq A(1) uchun o'rinli ("induksiya bazisi").

2. Istalgan k natural son uchun A(1), A(2), ... , A(k) uchun o'rinli deb hisoblab ("induksiya farazi"), A(k+1) uchun ham o'rinli ("induktiv o'tish").

Izoh. Ba'zan induksiya bazasini A(n₀) ga almashtiriladi. Bunda n₀ - belgilangan son.

Masalan: 1・1!+2・2!+3・3!+...+n・n!=(n+1)!-1. tenglikni isbotlash talab qilinadi. Bunda n!=1・2・3・...・n.

Isboti. 

1 qadam (induksiya bazisi). n=1 uchun 1・1!=(1+1)!-1. Demak A(1) uchun o'rinli. n=k uchun ham A(k) o'rinli deb hisoblaymiz, ya'ni 1・1!+2・2!+3・3!+...+k・k!=(k+1)!-1 (induksiya farazi).

2 qadam (induktiv o'tish). n=k+1 bo'lsin. U holda (1・1!+2・2!+3・3!+...+k・k!+(k+1)(k+1)!=(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+1)!(k+1+1)-1=(k+2)!-1. Biz A(k)⇒A(k+1) ni isbotladik. Demak, tenglik  barcha n∊N uchun o'rinli.